Vintage Capital Theory

안녕하세요???

오늘은 최근 연구하고 있는 주제와도 연관되어있는 vintage capital 이라는 개념에 대해서 적어보려고 합니다.

Vintage Capital Growth이란?

우선 vintage capital growth이 무엇인지 알려면 그 전사가 되는 Solow-Swan 모델을 먼저 간단히 살펴보아야합니다.

Solow-Swan 모델은 당시 거시 경제학을 괴롭히던 Harrod-Domar의 발산 문제를 해결한 모델입니다. Harrod-Domar 모델의 핵심 가정은 자본-산출 비율이 고정이라는 것입니다:

$$ Y = \frac{1}{v} K $$

$$ \dot{K} = sY - \delta K $$

이를 정리하면 **보증성장률(warranted growth rate)**을 얻습니다:

$$ g_w = \frac{s}{v} - \delta $$

이것이 Harrod가 말한 “칼날 위의 균형(knife-edge equilibrium)” 문제입니다.

$$ \dot{k} = \frac{\dot{K}}{L} - \frac{K\dot{L}}{L^2} = \frac{\dot{K}}{L} - nk $$

$$ \dot{k} = \frac{s \cdot K/v - \delta K}{L} - nk = \frac{s}{v}k - \delta k - nk $$

정리하면:

$$ \dot{k} = \left( \frac{s}{v} - \delta - n \right) k = (g_w - n) k $$

$$ k(t) = k_0 \cdot e^{(g_w - n)t} $$

Harrod-Domar 불안정 균형

Solow-Swan이 이 문제를 해결한 방법은 단순하지만 결정적이었습니다. 자본과 노동이 서로 대체 가능하다고 가정하면, 자본-산출 비율 $v$가 더 이상 고정이 아니게 됩니다:

$$ Y = A K^{\alpha} L^{1-\alpha} $$

사실 $A$는 Solow 모델에서 가장 중요한 변수입니다. 그 이유는:

Solow 잔차(residual): 실증 연구에서 선진국 경제성장의 절반 이상이 $K$나 $L$의 증가가 아닌 $A$의 성장으로 설명됩니다. 자본 축적만으로는 지속적 성장이 불가능합니다. (Solow, 1957)
“측정된 무지”: 아이러니하게도 $A$는 모델에서 가장 중요하면서도 가장 미스터리한 변수입니다. Solow 모델은 $A$가 어디서 오는지, 왜 성장하는지 설명하지 않습니다. 그냥 외생적으로 주어진다고 가정할 뿐이죠.

$$ y = A k^{\alpha} $$

자본 축적 방정식은:

$$ \dot{k} = sy - (n + \delta)k = sAk^{\alpha} - (n + \delta)k $$

$$ sA(k^\ast)^{\alpha} = (n + \delta)k^\ast \quad \Rightarrow \quad k^\ast = \left( \frac{sA}{n + \delta} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} $$

핵심 직관은 $k$가 너무 낮으면 자본의 한계생산성이 높아 투자가 증가하고, $k$가 너무 높으면 한계생산성이 낮아 자본이 감소한다는 것입니다. 가격 메커니즘이 작동하면서 경제가 자연스럽게 균형 성장경로로 수렴하게 됩니다.

Solow 안정 균형

하지만 Solow-Swan 모델에는 한 가지 암묵적 가정이 있습니다. 기술 진보가 disembodied하다는 것, 즉 새로운 기술이 발명되면 기존의 모든 자본에도 즉시 적용된다는 가정입니다.

Vintage Capital 이론은 이 가정에 의문을 제기합니다. 현실에서 기술 진보는 새로운 자본재(기계, 설비 등)에 **체화(embodied)**되어 경제에 전파됩니다.

핵심 아이디어:

$$ Y_t = \sum_{v=0}^{t} A_v \cdot K_{v,t}^{\alpha} \cdot L_{v,t}^{1-\alpha} $$